LAS MATEMÁTICAS GRIEGAS

Las Matemáticas Griegas:

La contribución de los griegos a la matemática constituye el mayor avance de esta ciencia en el período comprendido entre la Prehistoria y el Renacimiento. 

Los griegos se preocupan por reflexionar sobre la naturaleza de los números,

sobre la naturaleza de los objetos matemáticos (geometría). Convirtieron a las Matemáticas (que hasta ese momento habían tenido un sentido meramente práctico, en una ciencia racional y estructurada, con propiedades que se demuestran. Podemos decir que con los griegos comenzó la era científica moderna. Lamentablemente, ha llegado poco material a nuestros días. Hacia el 450 a.C. tenemos constancia de los primeros comentarios históricos que realizó el filósofo Proclo acerca de los Elementos de Euclides, que estaba familiarizado con la obra de Eudemo de Rodas, discípulo éste a su vez de Aristóteles.

También podemos encontrar extractos de la obra Doctrina (o Teoría) de las Matemáticas de Gémino de Rodas sobre el año 50 a.C. conservados a través de autores como Proclo, Eutocio, Al Nayrizi y otros. En él, divide a las matemáticas en dos partes: Mental y Observable, o en términos actuales Pura y Aplicada, donde se realiza una comparativa de los métodos de demostración usados por los primeros geómetras griegos con los métodos actuales. También han llegado a nuestros días las biografías de algunos de los matemáticos más relevantes de esa época, así como de la vida y obra de otros más modestos.

La escuela Jónica

📌Tales de Mileto:

Es considerado por muchos (por ejemplo Aristóteles) el fundador de la primera 

escuela de matemáticas y filosofía griega y uno de los Siete Sabios de Grecia. 

Nació en torno al año 640 a.C. en la ciudad Jónica de Mileto (en la actual Turquía).. 

Siendo comerciante, Tales visitó la Gran Pirámide de Egipto. Durante aquella visita, alguien preguntó cuál era la altura de la pirámide, a lo que ninguno de los egipcios que estaban allí presentes pudo dar respuesta, ya que la pirámide era muy alta, y si se soltaba una cuerda desde la punta hasta el suelo, esta acción no mediría la altura. Pero Tales se puso manos a la obra para resolver este problema geométrico. Primero midió la longitud de la sombra que proyectaba la pirámide, luego la longitud de su propia sombra, y como ya conocía su estatura hizo algunos cálculos y sorprendió a los egipcios con la medida de la altura de la pirámide. Tales estaba usando el teorema que dice que si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes, y se pueden calcular medidas aplicando la proporcionalidad. Esta es una de las versiones del teorema que ha llegado hasta nuestros días como el Teorema de Tales. 

Durante su estadía en Egipto, Tales estudió Astronomía y Geometría. Regresó a Mileto para abandonar su profesión como comerciante y su vida pública, para dedicarse única y exclusivamente a l estudio de la filosofía y la ciencia, hasta su muerte alrededor del 550 a.C.

Sus principales teoremas, que han llegado hasta nuestros días, son:
✔El círculo se bisecta por su diámetro. 

✔Los ángulos de la base de un triángulo con dos lados iguales, son iguales. 

✔Los ángulos opuestos de líneas rectas que se intersectan son iguales. 

✔Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno son iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los triángulos son congruentes.

También se afirma que fue el autor de los dos siguientes teoremas:

✔El ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

✔La suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos. 

La escuela Pitagórica 

📌Pitágoras de Samos: 

No podemos dejar de hacer referencia a Pitágoras (569 a.C. Samos, Antigua Grecia), filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro.

Hijo de Minesarco, mercader de Tiro y de Pythais, originaria de Samos, en Jonia. 

La mayoría de historiadores dicen que su vida pública surge en el 532 a.C. 

La filosofía occidental comienza a partir de Tales de Mileto, unos 20 años antes del nacimiento de Pitágoras, había muchas cosas por descubrir; según Jamblico entre los 18 y 20 años visitó a Tales, en Mileto, según se piensa, aunque Tales ya era anciano en ese momento habría marcado una fuerte impresión en Pitágoras. Se dice que Pitágoras en busca de información científica viajó directamente a la fuente de la misma. 

Sobre 525 a.C. fue llevado a Babilonia como prisionero de guerra por los seguidores de Cambises, allí se asociaría con los “magies”, instruyéndose en sus ritos sagrados y los “cultos mistéricos de los dioses”, así como las ciencias matemáticas cultivadas por los babilonios. Una vez que fue liberado (no se sabe exactamente cómo fue) emigra al sur de Italia y se instala en la ciudad de Crotona.

A partir de este momento fue adquiriendo otras costumbres como el secretismo, el vegetarianismo, no usar ropas hechas de pieles de animales y su empecinamiento en la pureza. Fue retratado en carácter de religioso o de legislador en varias de las visitas que hizo en Grecia a lugares como Delos, Esparta, Fliunte, Creta. Para sus actividades decidió quedarse en Crotona, no está muy claro cuál fue el motivo por el que lo hizo. Aquí es donde funda una escuela filosófica y religiosa que adquirió mucha notoriedad y atrajo muchos seguidores. No está muy claro respecto a la familia que formó, algunos dicen que cuando fue a Italia ya tenía hija y esposa, otros dicen que se casó con Teano, de Crotona, y tuvieron una hija Damo y un hijo llamado Teleauges, otros aseguran que fueron dos hijas, Damo y Myia. 

Sobre la fecha real de su muerte también hay diferencias, en el 508 a.C. escapó a Metaponto, lugar donde fallecería, se piensa que por el 475 a.C. 

Muchos mitos y leyendas se contaron en torno a su persona, algunas forjadas por él mismo y otras debido a la naturaleza de la doctrina pitagórica y sus seguidores; era una confraternidad hermética, regida por símbolos místicos y costumbres esotéricas.

Como decía anteriormente, Pitágoras fundó la escuela filosófica y religiosa mientras estuvo en Crotona, que tuvo muchos seguidores, se reunían en el homakoeion (auditorio). Se llamaban a sí mismos matemáticos (matematikoi), vivían en esta sociedad de forma permanente, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos. Este grupo selecto tenía estrictas reglas de conducta como por ejemplo que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática, que la filosofía puede usarse para la purificación espiritual, el alma puede elevarse para unirse con lo divino, ciertos símbolos son de naturaleza mística, que todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo. Los descubrimientos eran transmitidos de forma oral para evitar que los conocimientos del grupo pudieran caer en manos inadecuadas. En consecuencia, la memoria era la facultad intelectual más apreciada.

En la Hermandad Pitagórica se aceptaban hombres y mujeres. Los que no pertenecían al núcleo duro del grupo se les llamaba acusmáticos (akousmatikoi), ellos vivían en sus propias casas y se les permitía tener posesiones personales, no tenían porque ser vegetarianos, pero solo asistían como oyentes durante el dia. A pesar de que las mujeres pertenecían a este grupo, muchas de ellas fueron reconocidas después como filósofas y matemáticas.

Se considera determinante los aportes que hicieron los pitagóricos para el desarrollo de las matemáticas, la astronomía y la medicina, aunque no se conserva ningún escrito propiamente de Pitágoras, pero no se le debe quitar crédito, por todos sus hallazgos. Se habla mucho sobre el hecho de que todos los miembros guardaban absoluto hermetismo sobre todo lo que allí se hacía, no obstante los estudios científicos ordinarios (matemáticas, música, astronomía, etc) estaban abiertos a todos los discípulos. Los pitagóricos se expandieron después de 500 a.C., la sociedad tomó una dimensión política y más tarde se dividió. 

Alcanzaron el control de distintas ciudades de la Magna Grecia y Sicilia. Desarrollaron amplios estudios en varias disciplinas que relacionaron entre sí, como es la física, la matemática y la astronomía. En el año 460 a. C. fueron atacados y suprimidos. Se debe de aclarar que muchos de los descubrimientos que se le atribuyen a Pitágoras, pudieron haber sido fruto del trabajo de sus discípulos. Bertrand Russell (filósofo, matemático, lógico y escritor británico) describió a Pitágoras como “uno de los hombres más importantes desde un punto de vista intelectual que haya vivido jamás, tanto por su sabiduría como por su insensatez”. 

La filosofía de Pitágoras tiene mucha vinculación con la Escuela jónica, aquella que busca resolver por medio de un principio primordial el origen y la constitución del universo visto como un todo, como ya vimos. 

El sistema filosófico post-aristotélico suele atribuirle a Pitágoras la adopción del monismo, de donde surgen principios como “el número”, “el plano” y luego las “figuras sólidas” y los “cuerpos del mundo sensible”. 

La idea pitagórica del “cosmos” fue desarrollada en un orden más científico y matemático por sus sucesores pitagóricos: Filolao y Arquitas.

En lo que se refiere a astronomía Pitágoras enseñaba que la Tierra estaba situado en el centro del universo, y que la órbita de la Luna estaba inclinada hacia el ecuador de la Tierra, aunque según Teofrasto fue Parménides quien descubrió la esfericidad de la Tierra así como la identidad del Lucero del Alba (Venus, descubrimiento que también se atribuye a Pitágoras). Filolao afirmaba que la Tierra se movía, aunque no sobre su propio eje, sino alrededor del “fuego central”, que para él, esto último era una fuerza situada en el centro del mundo. Otro aporte dado por los pitagóricos fue de Hicetas de Siracusa, como es el descubrimiento de la rotación de la Tierra alrededor de su propio eje; no así, la rotación de la Tierra combinado con el movimiento alrededor del Sol, que fue afirmada por primera vez por Aristarco de Samos el cual era astrónomoaristotélico.

Hay muchos aportes a la música. Uno de los que se le atribuyen es el descubrimiento de las leyes de los intervalos musicales regulares, lo que se llama las relaciones aritméticas de la escala musical. La expresión de la naturaleza en términos matemáticos, como son las proporciones y las razones también son conceptos desarrollados por los pitagóricos. Otro concepto también aportado por los mismos es la afinación pitagórica (gama musical). La música para ellos tenía un valor ético y medicinal.

Con respecto a la matemática, se debe destacar que ellos no estaban interesados en formular o resolver problemas matemáticos, el interés de ellos venía por el principio de las matemáticas, el concepto de número, de triángulo y la idea abstracta de “prueba”(hablamos de la abstracción pura de la matemática y la generalización).

Para los pitagóricos, las cosas son números, y observan esto en el cosmos, la astronomía, en la música. Entre todos los aportes de la escuela de Pitágoras se encuentran: El teorema de Pitágoras, demostraron que existen cinco poliedros regulares, suma de los ángulos interiores del triángulo, triángulo inscrito en un semicírculo (rectángulo), construcción de figuras dada un área determinada, la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, las razones y proporciones entre los números enteros, la media aritmética, la media geométrica y la media armónica, también de los números poligonales y el tetraktys (figura triangular compuesta por diez puntos ordenados en cuatro filas).

📌Euclides: 

Sabemos poco sobre su vida, se supone que nació alrededor del 325 a.C. Era hijo de Naucrates. lo que sí se sabe es que fundó una escuela en Alejandría y que vivió durante el reinado de Ptolomeo I. Es posible que su formación hubiera tenido lugar en Atenas, en la escuela de Platón. Cuenta Proclus en su Comentario a los Elementos que una vez el rey le preguntó si no habría algún camino para aprender geometría que fuera más corto que sus Elementos, a lo que él respondió que “no hay un camino real a la Geometría”. 

Se barajan diferentes hipótesis sobre Euclides: que fue un matemático griego que escribió Los Elementos y otras obras, o que fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría y contribuyeron a escribir las obras que firmaban con el nombre de Euclides firmando así aun después de la muerte de éste. 

Hacia el año 300 a.C. escribió Elementos de la Geometría, el más antiguo tratado de Matemáticas que nos ha llegado completo, y aún hoy están la mayoría de sus postulados vigentes. Estaba compuesto de 13 partes o libros, y aunque mucho material fue extraído de fuentes más antiguas, la magnífica disposición de los teoremas y su demostración revelan el genio de su autor. 

Los conocimientos dispersos los unificó y las demostraciones se hicieron a partir de unos escasos axiomas aceptados como evidentes. Su aportación a la educación de occidente fue extraordinaria. Posiblemente hayan sido sus Elementos los libros más estudiados después de la Biblia, ha tenido más de mil ediciones desde la primera vez que se publicó en el año 1482, por lo que se afirma que Euclides es uno de las matemáticos más leídos de la historia. Se cree que el final de los aportes e investigaciones de Euclides se dio en el año 265 antes de Cristo, tiempo en el que falleció.

Esa obra estaba compuesta por 13 libros, de los cuales los 6 primeros hacían referencia a conceptos de geometría plana básica. Del séptimo al décimo libro se trataban temas numéricos como divisibilidad, números primos y radicales y los tres libros finales comprendieron temas sobre geometría de sólidos, poliedros y esferas circunstanciales. Entre los teoremas más importantes de esa obra de Euclides, que de hecho aún se enseña en las escuelas están: 

La suma de los ángulos internos de un triángulo, suman 180 grados. 

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que hace referencia al teorema de Pitágoras. 

Además de esto, Euclides formuló 5 postulados, que usó como punto de partida para explicar conocimientos geométricos y matemáticos. Estos postulados son: 

✔Dados dos puntos iniciales, se puede trazar una recta que los una. 

✔Cualquier línea o segmento puede ser alargado de forma continua en una recta infinita en la misma dirección. 

✔Se puede trazar una circunferencia de radio cualquiera y centro en cualquier punto. 

✔Todos los ángulos rectos son iguales 

✔Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Este último postulado más adelante se enunció así: Por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una única línea paralela. 

Los principios geométricos de Euclides, fueron importantes en áreas como la física, la astronomía, la química, algunas ingenierías y sirvió como inspiración para que se formulara en el siglo II la teoría ptolemaica del Universo. Sus ideas también formaron una abstracción de la realidad, porque hizo suposiciones como que Un punto no tiene tamaño por lo que se le asigna una dimensión nula o equivalente a cero, una línea es un conjunto de puntos que no tiene ni ancho ni grueso, solo longitud y se le asigna un valor igual a 1, una superficie no tiene grosor y tiene dimensión 2 equivalente a largo y ancho; para culminar, dijo que un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión equivalente a 3, largo, ancho y alto. 

Frases: Algunas de las frases que se le atribuye y han llegado a nuestros días: 

✔Lo que es afirmado sin prueba, puede ser denegado sin prueba. 

✔La libertad no es un fin, es un medio para desarrollar nuestras fuerzas. 

✔La razón es un medio para llegar a la verdad. 

✔El éxito no es para lo que piensan que pueden hacer algo, sino para los que lo hacen. 

✔No hay un camino real para la Geometría. 

📌Arquímedes 

No podemos dar por finalizada esta síntesis sobre los principales matemáticos griegos, sin nombrar a Arquímedes de Siracusa. Nacido en el año 287 a. C. en Siracusa (Sicilia), fue un gran físico, ingeniero, inventor, astrónomo y matemático. 

Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la Antigüedad Clásica. Fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y en general de toda la historia. 

Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita. Fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral. Dio una aproximación bastante precisa del número Pi() y también definió la espiral que lleva su nombre. 

Los escritos matemáticos de Arquímedes no fueron muy conocidos en la antigüedad. La primera compilación de su obra fue realizada por Isidoro de Mileto en el 530 d.C. Las pocas copias de su obra que sobrevivieron a través de la Edad Media, fueron una importante fuente de ideas para el Renacimiento.